Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：4，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），將矩形沿過點(diǎn)E的直線MN折疊，使得點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，F分別在直線AD與BC上，當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，CN：BN的值為_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】

分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，△DEF為直角三角形；當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，△DEF為直角三角形，分別判定△DCF∽△BCD，得到＝，進(jìn)而得出CF，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CN和BN的長(zhǎng)，于是得到結(jié)論．

解：∵AB：BC＝3：4，

設(shè)AB＝3x，BC＝4x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3x，AD＝BC＝4x，

分兩種情況：

①如圖所示，當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，△DEF為直角三角形，

∵∠CDF+∠CFD＝∠EFN+∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝∠EFN，

由折疊可得，EF＝EB，BN＝FN，

∴∠EFN＝∠EBN，

∴∠CDF＝∠CBD，

又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴FN＝NB＝＝，

∴CN＝CF+NF＝+＝，

∴CN：BN＝：＝25：7．

②如圖所示，當(dāng)∠EDF＝90°時(shí)，△DEF為直角三角形，

∵∠CDF+∠CDB＝∠CDF+∠CBD＝90°，

∴∠CDF＝∠CBD，

又∵∠DCF＝∠BCD＝90°，

∴△DCF∽△BCD，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴NF＝BN＝＝，

∴CN＝NF﹣CF＝﹣＝，

∴CN：BN＝7：25，

綜上所述，CN：BN的值為或．

故答案為：或．