Question

如圖，已知正方形在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，分別在上，且將三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，連結(jié)

（1）求證：

（2）若三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或

【解析】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴

∵三角板是等腰直角三角形，∴

又三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置時(shí)，

∴···························· 3分

（2）存在.································· 4分

∵

∴過(guò)點(diǎn)與平行的直線有且只有一條，并與垂直，

又當(dāng)三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，則點(diǎn)在以為圓心，以為半徑的圓上，

························ 5分

∴過(guò)點(diǎn)與垂直的直線必是圓的切線，又點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為和

此時(shí)，點(diǎn)分別在點(diǎn)和點(diǎn)，滿足

·························· 7分

當(dāng)切點(diǎn)在第二象限時(shí)，點(diǎn)在第一象限，

在直角三角形中，

∴∴

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為··························· 9分

當(dāng)切點(diǎn)在第一象限時(shí)，點(diǎn)在第四象限，

同理可求：點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上所述，三角板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或································ 11分

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；

（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E、F的軌跡是以O(shè)為圓心，OE（或OF）長(zhǎng)為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點(diǎn)為F；可過(guò)C作⊙O的切線，那么這兩個(gè)切點(diǎn)都符合F點(diǎn)的要求，因此對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)也有兩個(gè)；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可證得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形，不難得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．