如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.動點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P沿C→B方向做勻速運(yùn)動,點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動,當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.
(1)求CD的長;
(2)若點(diǎn)P以1cm/s速度運(yùn)動,點(diǎn)Q以2cm/s的速度運(yùn)動,連接BQ、PQ,設(shè)△BQP面積為S(cm2),點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t(s),求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取
值范圍;
(3)若點(diǎn)P的速度仍是1cm/s,點(diǎn)Q的速度為acm/s,要使在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PQ∥DC,請你直接寫出a的取值范圍.
解:(1)過D點(diǎn)作DH⊥BC,垂足為點(diǎn)H,則有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm.
∴CH=BC-BH=14-6=8cm.
在Rt△DCH中,CD==8
cm. ——————————————2
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t(s),則PC=t,
① 當(dāng)Q在CD上時,過Q點(diǎn)作QG⊥BC,垂足為點(diǎn)G,
則QC=2
·t.
又∵DH=HC,DH⊥BC,∴∠C=45°.
∴在Rt△QCG中,QG=QC·sin∠C=2t×sin45°=2t.
又∵BP=BC-PC=14-t,
∴S =BP×QG=
(14-t)×2t=14t-t2. ————————————————2
當(dāng)Q運(yùn)動到D點(diǎn)時所需要的時間t==
=4.
∴S=14t-t2(0<t≤4). ———————————————————1
② 當(dāng)Q在DA上時,過Q點(diǎn)作QG⊥BC,
則:QG=AB=8cm,BP=BC-PC=14-t,
∴S =BP×QG
=
(14-t)×8=56-4t. ——————————————————2
當(dāng)Q運(yùn)動到A點(diǎn)時所需要的時間t==
=4+
.
∴S=56-4t(4<t≤4+). ———————————————————1
3)要使運(yùn)動過程中出現(xiàn)PQ∥DC,a的取值范圍是a≥1+. ————————2
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