【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+cx軸交于點A(﹣1,0)、B(3,0),與y軸交于點C,頂點為D,對稱軸為直線x=1,有下列四個判斷:

①關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1=﹣1,x2=3;

a﹣b+c=0;

③若拋物線上有三個點分別為(﹣2,y1)、(1,y2)、(2,y3),則y1<y2<y3

④當OC=3時,點P為拋物線對稱軸上的一個動點,則△PCA的周長的最小值是,

上述四個判斷中正確的 有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

由拋物線與對稱軸的交點對①進行判斷;由拋物線經(jīng)過點(-1,0),代入解析式即可對②進行判斷;利用拋物線的對稱軸對③進行判斷;利用拋物線的對稱性得到PA=PB,當B、P、C在一條直線上時,PB+PC=BC,此時PA+PC最小,則△PCA的周長最小,根據(jù)勾股定理求得AC、BC即可對④進行判斷.

∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0)、B(3,0),
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1=-1,x2=3,故①正確;
∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),
∴a-b+c=0,故②正確;
∵拋物線開口向下,對稱軸為直線x==1,拋物線上有三個點分別為(-2,y1)、(1,y2)、(2,y3),
∴|-2-1|>|2-1|,
∴y1<y3<y2,故③錯誤;
∵P為拋物線對稱軸上的一個動點,
∴點A與點B為拋物線的對稱點,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC,
當B、P、C在一條直線上時,PB+PC=BC,
此時PA+PC最小,則△PCA的周長最小,
∵OA=1,OC=3,OB=3
∴AC=,BC=2,
∴△PCA的周長最小值為+2.故④錯誤.
故選:B.

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