Question

如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點E，與x軸相交于點F．

（1）求線段DE的長；

（2）設過E的直線與拋物線相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），試判斷當|x₁﹣x₂|的值最小時，直線MN與x軸的位置關系，并說明理由；

（3）設P為x軸上的一點，∠DAO+∠DPO=∠α，當tan∠α=4時，求點P的坐標．

Answer 1

，解得.

∴x₁+x₂=b₁，x₁x₂=b₁﹣3.

∵，

∴當b₁=2時，|x₁﹣x₂|最小值=2.

∵b₁=2時，y=（2﹣b₁）x+b₁=2，∴直線MN∥x軸．

（3）如答圖，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4.

又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α.

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO.

∴△ADP∽△AOD. ∴AD²=AO•AP.

∵AF=2，DF=4，

∴AD²=AF²+DF²=20. ∴OP=19.

∴P₁（19，0），P₂（﹣17，0）．