Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)A（4，0），B（0，4 ），把一個(gè)直角三角尺DEF放在△OAB內(nèi)，使其斜邊FD在線段AB上，三角尺可沿著線段AB上下滑動(dòng)．其中∠EFD=30°，ED=2，點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．

（1）求直線AB的解析式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑動(dòng)的過程中，經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能否同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F？如果能，求出此時(shí)反比例函數(shù)的解析式；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，4 ），

∴ ，

解得：

∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+4

（2）

解：∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=2 ，DF=4，

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，2 ），

∴G（3， ），

∵反比例函數(shù)y= 經(jīng)過點(diǎn)G，

∴k=3 ，

∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

（3）

解：經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F；理由如下：

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴設(shè)F（t，﹣ t+4 ），

又∵ED=2，

∴D（t+2，﹣ t+2 ），

∵點(diǎn)G為邊FD的中點(diǎn)．

∴G（t+1，﹣ t+3 ），

若過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)F，

設(shè)解析式為y= ，

則 ，

整理得：（﹣ t+3 ）（t+1）=（﹣ t+4 ）t，

解得：t= ，

∴m= ，

∴經(jīng)過點(diǎn)G的反比例函數(shù)的圖象能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)F，這個(gè)反比例函數(shù)解析式為：y=

【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，組成方程組，解方程組求出k、b的值即可；（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出點(diǎn)D坐標(biāo)，得出點(diǎn)F、G坐標(biāo)，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出k即可；（3）設(shè)F（t，﹣ t+4 ），得出D、G坐標(biāo)，設(shè)過點(diǎn)G和F的反比例函數(shù)解析式為y= ，用待定系數(shù)法求出t、m，即可得出反比例函數(shù)解析式．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．