如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD為直徑的半圓D與BC相切。

(1)求證:OB⊥OC;

(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1與半⊙O外切,并與BC、CD相切,求⊙O1的面積。

 

【答案】

(1)證明見解析(2)4π

【解析】(1)∵AB,BC,CD均與半圓O相切,

∴∠ABO=∠CBO,∠DCO=∠BCO.

又AB∥CD,

∴∠ABC+∠BCD=180°,即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°.

∴2∠CBO+2∠BCO=180°,于是∠CBO+∠BCO=90°,

∴∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=180°-90°=90°,

即OB⊥OC.                                      ………………………………4分

(2)設(shè)CD切⊙O1于點(diǎn)M,連接O1M,

則O1M⊥CD.

設(shè)⊙O1的半徑為r.

∵∠BCD=60°,且由(1)知∠BCO=∠O1CM,

∴∠O1CM=30°.

在Rt△O1CM中,CO1=2O1M=2r.在Rt△OCD中,OC=2OD=AD=12.

∵⊙O1與半圓D外切,

∴OO1=6+r,于是,由OO1+O1C=OC,即6+r+2r=12,

解得r=2,

因此⊙O1的面積為4π.                            ………………………………10分

(1)證明兩個(gè)銳角的和等于90°即可;

(2)求得⊙O1的半徑后代入圓的面積公式求得其面積即可.

 

練習(xí)冊系列答案
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11、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,則S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=CD=10.
求:梯形ABCD的周長.

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(1)求證:△ABD∽△DCB;
(2)若BD=7,AD=5,求BC的長.

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20、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,并且AB=8,AD=3,CD=6,并且∠B+∠C=90°,則梯形面積S梯形ABCD=
38.4

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A、3cmB、7cmC、3cm或7cmD、2cm

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