Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O及A（，0），其頂點(diǎn)為B（m，3），C是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) （點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合），點(diǎn)D在y軸上，且EO=ED．
（1）求此拋物線及直線OC的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到拋物線上時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（3）連接AD，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AED的面積為？請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)和A（），得出拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=，故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+）²+3，由拋物線經(jīng)過(guò)（0，0）可求出a的值，故可得出拋物線的解析式，
由C為AB的中點(diǎn)可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線OC的解析式；
（2）連接ED，由于點(diǎn)E是拋物線與直線OC的交點(diǎn)所以聯(lián)立二次函數(shù)與直線的解析式可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)E作EF⊥y軸于F可求出OF的長(zhǎng)，再由EO=ED可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，故可求出BD的長(zhǎng)．
（3）連接DE、AE、AD，設(shè)E（x，-x），由A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)即可得出OA=2，OD=，由S_{四邊形AODE}=S_△AOE+S_△DOE=S_△AED+S_△AOD即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵拋物線過(guò)原點(diǎn)和A（），
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=．
∴B（）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+）²+3．
∵拋物線經(jīng)過(guò)（0，0），
∴0=3a+3．
∴a=-1．
∴y=-（x+）²+3，
=-x²-2x．
∵C為AB的中點(diǎn)，A（-2，0）、B（-，3），
∴C（-，）．
∴直線OC的解析式為y=-x；

（2）如圖1，連接ED．
∵點(diǎn)E為拋物線y=-x²-2x與直線y=-x的交點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)O不重合）．
∴，解得或（不合題意，舍去），
∴E（-，）；
過(guò)E作EF⊥y軸于F，可得OF=，
∵OE=DE，EF⊥y軸，
∴OF=DF，
∴DO=2OF=，
∴D（0，），
∴BD==；

（3）如圖2，連接DE、AE、AD，設(shè)E（-a，a）（a＞0），
∵A（-2，0），D（0，a），
∴OA=2，OD=a，
∴S_△AED=S_△AOE+S_△DOE-S_△AOD=×2×a+×a×a-×2×a=a²-a，
∴a²-a=，
解得a=；
∴E（-，），
同理，當(dāng)E在第四象限時(shí)，
E（，-）．
故E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，）或（，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、三角形的面積公式等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．