Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在射線MB上，連接AN，平移△ABN，使點(diǎn)N移動(dòng)到點(diǎn)M，得到△DEM（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)），DM交AC于點(diǎn)P．

（1）若點(diǎn)N是線段MB的中點(diǎn)，如圖1．

① 依題意補(bǔ)全圖1；

② 求DP的長(zhǎng)；

（2）若點(diǎn)N在線段MB的延長(zhǎng)線上，射線DM與射線AB交于點(diǎn)Q，若MQ=DP，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）①根據(jù)題意補(bǔ)充圖形即可；

②連接AD．在Rt△ABN中，由勾股定理得AN的長(zhǎng)．由平移的性質(zhì)得到DM=AN，

進(jìn)而得到△ADP∽△CMP，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（2）連接，先證四邊形是平行四邊形．由平行四邊形的性質(zhì)得到∥，再由平行線的性質(zhì)得到．進(jìn)而得到．由平行線分線段成比例定理得到．由此得到NB的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

詳解：（1）①如圖1，補(bǔ)全圖形．

② 連接AD，如圖2．

在Rt△ABN中，∵∠B=90°，AB=4，BN=1，∴．

∵線段AN平移得到線段DM，∴DM=AN=，AD=NM=1，AD∥MC，

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∴．

（2）連接，如圖3．

由平移知：∥，且=．

∵，

∴．

∴∥，且=．

∴四邊形是平行四邊形．

∴∥．

∴．

又∵，

∴．

∵∥，

∴．

又∵是的中點(diǎn)，且，

∴．

∴(舍去負(fù)數(shù))．

∴．

∴．

方法二，連接AD，如圖4．

設(shè)CE長(zhǎng)為x．

∵線段AB移動(dòng)到得到線段DE，

∴，AD∥BM．

∴△ADP∽△CMP．

∴．

∵MQ=DP，

∴．

∵△QBM∽△QAD，

∴．

解得：．

∴．