Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，若其與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等，則這個點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如，圖1中過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，垂足為，，矩形的周長為，面積也為，則點(diǎn)是和諧點(diǎn)．

請根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）若點(diǎn)是和諧點(diǎn)，則______；

（2）若第一象限內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)均為和諧點(diǎn)，求的值；

（3）如圖2，若點(diǎn)為和諧點(diǎn)，且在直線上，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）滿足條件的點(diǎn)分別是或．

【解析】

（1）根據(jù)題意列出關(guān)于a的方程，再解方程即可解答；

（2）利用和諧點(diǎn)定義列出方程組，求出方程組的解，然后再代入即可解答；

（3）設(shè)P（c，c+3），利用和諧點(diǎn)定義列出方程，分類討論x的范圍并求x的值，即可確定出P坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意得：2（|a|+5）=5|a|，

解得：a=或；

故答案為或；

（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)均為和諧點(diǎn)，

化簡并整理得．

（3）直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為．

根據(jù)題意有，

①當(dāng)時，方程為．

整理得．

解得，（舍去）．

．

②當(dāng)時，方程為．

整理得．

此方程無解．

③當(dāng)時，方程為．

整理得．

解得，（舍去）．

．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)分別是或．