Question

【題目】對于給定函數y＝a1x2+b1x+c1（其中a1、b1、c1為常數，且a1≠0），則稱函數y＝（a1＝a2，b1+b2＝0，c1+c2＝0）為函數y＝a1x2+b1x+c1（其中a1，b1，c1為常數，且a1≠0）的“相關函數”，此“相關函數”的圖象記為G．

（1）已知函數y＝﹣x2+4x+2．

①直接寫出這個函數的“相關函數”；

②若點P（a，1）在“相關函數”的圖象上，求a的值；

③若直線y＝m與圖象G恰好有兩個公共點，直接寫出m的取值范圍；

（2）設函數y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的相關函數的圖象G在﹣4≤x≤2上的最高點的縱坐標為y0，當≤y0≤9時，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①y＝；②a的值為﹣3或﹣1或2+；③m≤﹣2或2＜m＜6；（2）1≤n≤2或n≥

【解析】

（1）①直接利用“相關函數”得出結論；

②分a≥0和a＜0，代入相關函數關系式中，即可得出結論；

③畫出函數圖象，直接寫出結論；

（2）先得出y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相關函數”，再分情況，借助圖象即可得出結論．

解：（1）①由“相關函數”得出y＝；

②∵點P（a，1）在“相關函數”的圖象上，

當a≥0時，﹣a2+4a+2＝1，

解得，a＝2+或a＝2﹣（舍），

當a＜0時，﹣a2﹣4a﹣2＝1，

解得，a＝﹣1或a＝﹣3，

即：a的值為﹣3或﹣1或2+；

③如圖1，

由①知，y＝，

當直線y＝m與圖象G恰好有兩個公共點，

由圖象知，m≤﹣2或2＜m＜6；

（2）由題意知，函數y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相關函數”為y＝，

而n2+1＞n2﹣1，

①當n2﹣1＞1時，如圖2，

∴n＜﹣2（舍）或n＞2，

Ⅰ、當n≥4時，

當x＝2時，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3，

當x＝﹣4時，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，

i）當2n﹣3＞4n﹣9，

∴n＜3，此種情況不存在；

ii）當2n﹣3≤4n﹣9，

∴n＞3，

即：n≥4，

Ⅱ、當2＜n＜4時，

當x＝2時，y＝﹣4+2n+1＝2n﹣3

i）當2n﹣3＞n2﹣1，

∴（n﹣2）2＜0，不符合題意，

ii）當2n﹣3≤n2﹣1，

∴（n﹣2）2≥0，

此時，y0＝n2﹣1，

∵≤y0≤9，

∴≤n2﹣1≤9，

∴≤n≤2，

即：≤n＜4，

②當0＜n≤2時，

如圖3，而n2+1＞n2﹣1，

∴≤n2+1≤9，

∴1≤n≤4，

∴1≤n≤2，

即：1≤n≤2或n≥．