Question

等邊△OAB和△AEF的一邊都在x軸上，雙曲線y=（k＞0）經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知：OA=2，則△AEF的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

-4+2
分析：過(guò)C作CG⊥x軸，過(guò)D作DH⊥x軸，由△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點(diǎn)，得到∠BOA=60°，OC=1，在直角三角形OCG中，利用三角函數(shù)定義求出OG與CG的長(zhǎng)，確定出C的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，設(shè)等邊△AEF的邊長(zhǎng)為a，由△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點(diǎn)，得到∠EAF=60°，表示出AD，同理表示出AH與DH的長(zhǎng)，由OA+AH表示出OH的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出D的坐標(biāo)，代入反比例解析式中求出a的值，即為三角形AEF的邊長(zhǎng)．
解答：解：過(guò)C作CG⊥x軸，過(guò)D作DH⊥x軸，
∵△OAB為等邊三角形，OA=2，C為OB的中點(diǎn)，
∴∠BOA=60°，OC=1，
在Rt△OCG中，sin∠BOA=，cos∠BOA=，
∴CG=OC•sin∠BOA=，OG=OC•cos∠BOA=，
∴C（，），
將C坐標(biāo)代入反比例解析式中得：k=，
∴反比例解析式為y=，
設(shè)等邊△AEF的邊長(zhǎng)為a，
∵△AEF為等邊三角形，AE=AF=EF=a，C為OB的中點(diǎn)，
∴∠EAF=60°，AD=a，
同理得到AH=a，DH=a，
∴OH=OA+AH=2+a，
∴D（2+a，a），
代入反比例函數(shù)解析式得：a（2+a）=，即a（2+a）=1，
整理得：8a+a²=4，即a²+8a-4=0，
解得：a==-4±2，
而a=-4-2不合題意，舍去，故a=-4+2，
則等邊△AEF的邊長(zhǎng)為-4+2．
故答案為：-4+2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角函數(shù)定義，等邊三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求反比例解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．