Question

已知拋物線．

(1)試說明：無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

(2)如圖，當(dāng)該拋物線的對稱軸為直線x＝3時，拋物線的頂點為點C，直線y＝x－1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．

①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝＝＝＝，∵不管m為何實數(shù)，總有≥0，∴＝＞0，∴無論m為何實數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點． 　　(2)∵拋物線的對稱軸為直線x＝3，∴， 　　拋物線的解析式為＝，頂點C坐標(biāo)為(3，－2)， 　　解方程組，解得或，所以A的坐標(biāo)為(1，0)、B的坐標(biāo)為(7，6)，∵時y＝x－1＝3－1＝2，∴D的坐標(biāo)為(3，2)，設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為E，則E的坐標(biāo)為(3，0)，所以AE＝BE＝3，DE＝CE＝2， 　�、偌僭O(shè)拋物線上存在一點P使得四邊形ACPD是正方形，則AP、CD互相垂直平分且相等，于是P與點B重合，但AP＝6，CD＝4，AP≠CD，故拋物線上不存在一點P使得四邊形ACPD是正方形． 　�、�(Ⅰ)設(shè)直線CD向右平移個單位(＞0)可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x＝3，直線CD與直線y＝x－1交于點M(3，2)，又∵D的坐標(biāo)為(3，2)，C坐標(biāo)為(3，－2)，∴D通過向下平移4個單位得到C． 　　∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形． 　　(ⅰ)當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N， 　　∴N坐標(biāo)為(3，)， 　　又N在拋物線上，∴， 　　解得(不合題意，舍去)，， 　　(ⅱ)當(dāng)四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N， 　　∴N坐標(biāo)為(3，)， 　　又N在拋物線上，∴， 　　解得(不合題意，舍去)，， 　　(Ⅱ)設(shè)直線CD向左平移個單位(＞0)可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則直線CD的解析式為x＝3，直線CD與直線y＝x－1交于點M(3，2)，又∵D的坐標(biāo)為(3，2)，C坐標(biāo)為(3，－2)，∴D通過向下平移4個單位得到C． 　　∵C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，∴四邊形CDMN是平行四邊形或四邊形CDNM是平行四邊形． 　　(ⅰ)當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，∴M向下平移4個單位得N， 　　∴N坐標(biāo)為(3，)， 　　又N在拋物線上，∴， 　　解得(不合題意，舍去)，(不合題意，舍去)， 　　(ⅱ)當(dāng)四邊形CDNM是平行四邊形，∴M向上平移4個單位得N， 　　∴N坐標(biāo)為(3，)， 　　又N在拋物線上，∴， 　　解得，(不合題意，舍去)， 　　綜上所述，直線CD向右平移2或()個單位或向左平移()個單位，可使得C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．