Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD與BC延長線交于點F，G是DC延長線上一點，AG⊥BC于E．
（1）求證：CF=CG；
（2）連接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，首先可通過DG∥AB，AB=BC證得AC為∠DCE的角平分線，從而得到△ADC≌△AEC，可知CD=CE；再由∠FDC=∠GEC=90°，∠FCD=∠GCE，可判定△FDC≌△GEC，即可得CF=CG．
（2）由已知條件，可求得AE、AC的長，法一：可利用C、A分別是DE垂直平分線上的點，并通過解直角三角形AEC的面積求得EH的長，從而得到ED的長．法二：通過證明△ADE∽△BAC可得=，從而求得DE的長．
解答：（1）證明：連接AC，（1分）
∵DC∥AB，AB=BC，
∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，
∴△ADC≌△AEC，（3分）
∴CD=CE；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC≌△GEC，
∴CF=CG．（5分）

（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt△ABE中，AE=，
∴在Rt△ACE中，AC=；（7分）

法一：由（1）知，△ADC≌△AEC，
∴CD=CE，AD=AE，
∴C、A分別是DE垂直平分線上的點，
∴DE⊥AC，DE=2EH；（8分）
在Rt△AEC中，，
∴EH=，（9分）
∴DE=2EH=2×=．（10分）

法二：在Rt△AEC中，∠2+∠6=90°，
在Rt△AEH中，∠5+∠6=90°，
∴∠2=∠5；
∵AD=AE，AB=BC，
∴∠5=∠7，∠CAB=∠2，
∴∠7=∠CAB，
∴△ADE∽△BAC；（9分）
∴，即，
∴．（10分）
點評：解此題的關(guān)鍵在于作好輔助線，涉及到直角梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的運用、垂直平分線的運用、相似三角形的判定等知識點，是一道考查學(xué)生綜合能力的一道好題．