Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8．D、E分別是AC、BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AD﹣DE﹣EB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒，（t＞0）

（1）當(dāng)t＝　 　時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求△BPQ的面積；

（3）設(shè)△BPQ的面積為S，求出點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）請(qǐng)直接寫出PQ∥DB時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）4秒；（2）；（3）Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝，（4）

【解析】

（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，求出AD、DE、BE，從而求出t；

（2）先求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)所用時(shí)間，得出AQ的長(zhǎng)，即可求出BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)△BPQ的面積=BQAP進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通過面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）通過假設(shè)，分兩種情況討論即可求解．

（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，

由勾股定理得：BC＝＝＝10，

又由D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，

∴AD＝4，DE＝3，BE＝5，

∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)所用時(shí)間t＝（4+3+5）÷3＝4（秒），

答t的值為4秒．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所用時(shí)間為秒，

所以AQ＝×2＝，

∴BQ＝6﹣＝，

∴△BPQ的面積＝BQAP＝×4＝；

（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD上（不包含D點(diǎn)），

由已知得：AQ＝2t，AP＝3t，

∴BQ＝AB﹣AQ＝6﹣2t，

已知∠A＝90°，

∴△BPQ的面積S＝BQAP＝（6﹣2t）3t＝﹣3t2+9t，

所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝﹣3t2+9t；

②如圖當(dāng)點(diǎn)P在DE（包括點(diǎn)D、E）上，

過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，

則PF＝AD＝4，

∴△BPQ的面積S＝BQPF＝（6﹣2t）4＝12﹣4t，

所以此時(shí)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝12﹣4t；

③當(dāng)點(diǎn)P在BE上（不包括E點(diǎn)），

由已知得：BP＝3+4+5﹣3t＝12﹣3t，

過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，

∴PF∥AC，

∴△BPF∽△BCA，

∴，

∴，

∴PF＝，

∴△BPQ的面積S＝BQPF＝（6﹣2t）＝，，

所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S＝，，

（4）若PQ∥DB，則點(diǎn)P、Q必在DB同側(cè)．分兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上，點(diǎn)P在AD上時(shí)，

假設(shè)PQ∥DB成立，

則△AQP∽△ABD，

∴，

∴，

此時(shí)方程的解是t＝0，但此解不符合題意，

則PQ∥DB不成立，

②當(dāng)3＜t＜4時(shí)，點(diǎn)Q在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在EB上，

此時(shí)PB＝12﹣3t，PE＝3t﹣7，BQ＝2t﹣6．

若PQ∥DB，設(shè)直線PQ交DE與N，

∵DE∥AB，

∴△PEN∽△PBQ，

∴EN：BQ＝PE：PB，

則EN＝；

又∵NQ∥DB，

∴EN：ED＝EP：EB，

則EN＝，

所以＝，

解得t＝符合題意．

綜上所述，當(dāng)t＝時(shí)，PQ∥DB．