Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D為直線BC上一點，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，
（1）如圖（1）若D為BC的中點，求證：DE+DF=CH．
（2）如圖（2）若D為BC延長線上一點，其他條件不變，線段DE．DF．CH 之間有何數(shù)量關(guān)系，請證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：
（1）如圖（1），過點D作DG⊥CH，交CH于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，DG⊥CH，
∴四邊形DGHF為矩形，∴DF=GH，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∠DCG+∠ABC=90°，∠CDE+∠ACB=90°，
∴∠DCG=∠CDE，
又∵DG⊥CH，DE⊥AC，
∴∠DGC=∠CED=90°，
又∵DC為公共邊，
∴△DGC≌△CED，（AAS）
∴DE=CG
∴DF+DE=HG+CG=CH．

（2）DF=DE+CH
如圖（2），過點C作CG⊥DF，交DF于G，
∵DF⊥AB，CH⊥AB，CG⊥DF，
∴四邊形CGFH為矩形，∴CH=GF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠CDG+∠ABC=90°，∠DCE=∠ACB=∠ABC，
∠CDE+∠ABC=90°，
∴∠CDE=∠CDG，
又∵DE⊥AC，CG⊥DF，
∴∠CGD=∠CED=90°，
又∵CD為公共邊
∴△CED≌△CGD，
∴DE=DG，∴DF=FG+DG=CH+DE．
分析：（1）過點D作DG⊥CH，交CH于G，求證△DGC≌△CED，然后根據(jù)線段之間的等量關(guān)系即可得出答案；
（2）過點C作CG⊥DF，交DF于G，求證△CED≌△CGD，然后根據(jù)線段之間的等量關(guān)系即可得出答案．
點評：此題考查學生對全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是（1）過點D作DG⊥CH，交CH于G，求證△DGC≌△CED；（2）過點C作CG⊥DF，交DF于G，求證△CED≌△CGD．