Question

已知：∠MAN=60°，點(diǎn)B在射線AM上，AB=4（如圖）．P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊作等邊三角形BPQ（點(diǎn)B，P，Q按順時(shí)針排列），O是△BPQ的外心．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)O在∠MAN的平分線上；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合）時(shí)，AO與BP交于點(diǎn)C，設(shè)AP=x，AC•AO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（3）若點(diǎn)D在射線AN上，AD=2，圓I為△ABD的內(nèi)切圓．當(dāng)△BPQ的邊BP或BQ與圓I相切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連接OB，OP．

∵O是等邊三角形BPQ的外心，

∴圓心角∠BOP==120°．

當(dāng)∠MAN=60°，不垂直于AM時(shí)，作OT⊥AN，則OB=OP．

由∠HOT+∠A+∠AHO+∠ATO=360°，且∠A=60°，∠AHO=∠ATO=90°，

∴∠HOT=120度．

∴∠BOH=∠POT．

∴Rt△BOH≌Rt△POT．

∴OH=OT．

∴點(diǎn)O在∠MAN的平分線上．

當(dāng)OB⊥AM時(shí)，∠APO=360°﹣∠A﹣∠BOP﹣∠OBA=90°．

即OP⊥AN，

∴點(diǎn)O在圓I的平分線上．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O在∠MAN的平分線上．

（2）解：如圖2，

∵AO平分∠MAN，且∠MAN=60°，

∴∠BAO=∠PAO=30°．

由（1）知，OB=OP，∠BOP=120°，

∴∠CBO=30°，

∴∠CBO=∠PAC．

∵∠BCO=∠PCA，

∴∠AOB=∠APC．

∴△ABO∽△ACP．

∴．

∴AC•AO=AB•AP．

∴y=4x．

定義域?yàn)椋簒＞0．

（3）解：①如圖3，當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO=2；

②如圖4，當(dāng)BP與圓I相切時(shí)，AO=；

③如圖5，當(dāng)BQ與圓I相切時(shí)，AO=0．