Question

【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，P是對(duì)角線OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連接PC，過(guò)點(diǎn)P作，交x軸于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)處時(shí)，；③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是一個(gè)定值；④當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到；故①正確；

②由點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，得到，根據(jù)勾股定理即可得到，故②正確；

③如圖，過(guò)點(diǎn)P作于F，FP的延長(zhǎng)線交BC于E，，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，故③正確；

④當(dāng)為等腰三角形時(shí)，Ⅰ、，解直角三角形得到，

Ⅱ、OP＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到，故不合題意舍去；

Ⅲ、，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和得到，故不合題意舍去；于是得到當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故④正確．

解：①∵四邊形OABC是矩形，，

；故①正確；

②∵點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，

，

，故②正確；

③如圖，過(guò)點(diǎn)P作 A于F，FP的延長(zhǎng)線交BC于E，

，四邊形OFEC是矩形，

，

設(shè)，則，

在中，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，故③正確；

④，四邊形OABC是矩形，

，

，

，

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，

Ⅰ、

Ⅱ、

，

，故不合題意舍去；

Ⅲ、，

，

故不合題意舍去，

∴當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．故④正確，

故選：D．