Question

在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F(xiàn) 是對(duì)角線 ACS 行的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從 A，C 同時(shí)出發(fā) 相向而行，速度均為 1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)后就停止運(yùn)動(dòng)．

（1）若 G，H 分別是 AB，DC 中點(diǎn)，求證：四邊形 EGFH 始終是平行四邊形． 在（1）條件下，當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 EGFH 為矩形．

（3）若 G，H 分別是折線 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的動(dòng)點(diǎn)，與 E，F(xiàn) 相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng) t 為何 值時(shí)，四邊形 EGFH 為菱形．

Answer 1

【考點(diǎn)】四邊形綜合題．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出 AB=CD，AB^∥CD，AD^∥BC，^∠B=90°，由勾股定理求出 AC=5， 由 SAS 證明^△AFG^≌△CEH，得出 GF=HE，同理得出 GE=HF，即可得出結(jié)論；

先證明四邊形 BCHG 是平行四邊形，得出 GH=BC=4，當(dāng)對(duì)角線 EF=GH=4 時(shí)，平行四邊形 EGFH

是矩形，分兩種情況：①AE=CF=t，得出 EF=5﹣2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出 EF=5﹣2

（5﹣t）=4，解方程即可；

（3）連接 AG、CH，由菱形的性質(zhì)得出 GH^⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出 OA=OC，AG=AH，證 出四邊形 AGCH 是菱形，得出 AG=CG，設(shè) AG=CG=x，則 BG=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方

程求出 BG，得出 AB+BG=，即可得出 t 的值．

【解答】（1）證明：^∵四邊形 ABCD 是矩形，

^∴AB=CD，AB^∥CD，AD^∥BC，^∠B=90°，

^∴AC= =5，^∠GAF=^∠HCE，

^∵G，H 分別是 AB，DC 中點(diǎn)，

^∴AG=BG，CH=DH，

^∴AG=CH，

^∵AE=CF，

^∴AF=CE，

在^△AFG 和^△CEH 中，                  ，

^∴△AFG^≌△CEH（SAS），

^∴GF=HE，

同理：GE=HF，

^∴四邊形 EGFH 是平行四邊形． 解：由（1）得：BG=CH，BG^∥CH，

^∴四邊形 BCHG 是平行四邊形，

^∴GH=BC=4，當(dāng) EF=GH=4 時(shí)，平行四邊形 EGFH 是矩形，分兩種情況：

①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；

②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；

綜上所述：當(dāng) t 為 0.5s 或 4.5s 時(shí)，四邊形 EGFH 為矩形．

（3）解：連接 AG、CH，如圖所示：

^∵四邊形 EGFH 為菱形，

^∴GH^⊥EF，OG=OH，OE=OF，

^∴OA=OC，AG=AH，