Question

已知直線y=kx+b（k≠0）過點(diǎn)F（0，1），與拋物線y=x²相交于B、C兩點(diǎn).

（1）如圖13-1，當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1時，求直線BC的解析式；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)M是直線BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)D，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖13-2，設(shè)(m<0)，過點(diǎn)的直線l∥x軸，BR⊥l于R，CS⊥l于S，連接FR、FS．試判斷△RFS的形狀，并說明理由

Answer 1

1）因?yàn)辄c(diǎn)C在拋物線上，所以C（1，）  ……………………………………………1分

又因?yàn)橹本�BC過C、F兩點(diǎn)，故得方程組 …………………………………………2分

解之，得，所以直線BC的解析式為：  …………………………………3分

（2）要使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則MD=OF

設(shè)M（x₁, ），則D（x₁，）

因?yàn)?i>MD∥y軸，所以MD=，由MD=OF，可得，

①當(dāng)時，解得x₁=0（舍）或x₁=，所以M（，）  ………………5分

②當(dāng)時，解得，，

所以M（，）或M（，），   ………………………7分

綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，使以M、D、O、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）   ……8分

（3）過點(diǎn)F作FT⊥BR于點(diǎn)T，因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線上，所以m²=4n，在Rt△BTF中，

BF====，因?yàn)?i>n>0，所以BF=n+1，

又因?yàn)?i>BR= n+1，所以BF=BR.   所以∠BRF=∠BFR，………………………………………9分

又因?yàn)?i>BR⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，

所以∠RFE=∠BFR.    …………………………………………………………………………10分

同理可得∠EFS=∠CFS,   ……………………………………………………………………11分

所以∠RFS=∠BFC=90°，

所以△RFS是直角三角形.   …………………………………………………………………12分