Question

將邊長(zhǎng)OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸上．在OA邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，連接CE，將△EOC沿CE折疊．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為______；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)O落在矩形OABC內(nèi)部的點(diǎn)D處時(shí)，過點(diǎn)E作EG∥x軸交CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G．求證：EH=CH；
（3）在（2）的條件下，設(shè)H（m，n），寫出m與n之間的關(guān)系式______；
（4）如圖③，將矩形OABC變?yōu)檎�方形，OC=10，當(dāng)點(diǎn)E為AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O落在正方形OABC內(nèi)部的點(diǎn)D處，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)T，求此時(shí)AT的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE，EO的長(zhǎng)即可得出答案；
（2）利用平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊得出答案即可；
（3）根據(jù)H點(diǎn)坐標(biāo)得出各邊長(zhǎng)度，進(jìn)而利用勾股定理求出m與n的關(guān)系即可；
（4）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE進(jìn)而得出AT=DT．設(shè)AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT²+BC²=TC²，求出即可．
解答：（1）解：∵將邊長(zhǎng)OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處，
∴OC=DC=10，
∵BC=8，
∴BD==6，
∴AD=10-6=4，
設(shè)AE=x，則EO=8-x，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AE=3，
則EO=8-3=5，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，5）； 

（2）證明：（如圖②）由題意可知∠1=∠2．
∵EG∥x軸，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EH=CH．

（3）解：過點(diǎn)H作HW⊥OC于點(diǎn)W，
∵在（2）的條件下，設(shè)H（m，n），
∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n，
∴HW²+WC²=HC²，
∴n²+（10-m）²=m²，
∴m與n之間的關(guān)系式為：；

（4）解：（如圖③）連接ET，
由題意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10，
∵E是AO中點(diǎn)，∴AE=EO．
∴AE=ED．
∵在Rt△ATE和Rt△DTE中，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）．
∴AT=DT．
設(shè)AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，
在Rt△BTC中，BT²+BC²=TC²，
即（10-x）²+10²=（10+x）²，
解得 x=2.5，
即AT=2.5．
故答案為：（0，5）；．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練構(gòu)建直角三角形利用勾股定理得出相關(guān)線段長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵．