Question

如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．

（1）求證：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）如圖2，若P為線段EC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形，使其定點(diǎn)Q落在線段AE上，定點(diǎn)M、N落在線段AC上，當(dāng)線段PE的長為何值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

       （1）證明：由矩形的性質(zhì)可知△ADC≌△CEA，

∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，

在△ADE與△CED中

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）解：如圖1，∵∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

設(shè)DF=x，則AF=CF=4﹣x，

在RT△ADF中，AD²+DF²=AF²，

即3²+x²=（4﹣x）²，

解得；x=，

即DF=．

（3）解：如圖2，由矩形PQMN的性質(zhì)得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC==5

設(shè)PE=x（0＜x＜3），則，即PQ=

過E作EG⊥AC 于G，則PN∥EG，

∴=

又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=

∴=，即PN=（3﹣x）

設(shè)矩形PQMN的面積為S

則S=PQ•PN=﹣x²+4x=﹣+3（0＜x＜3）

所以當(dāng)x=，即PE=時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．