Question

如圖1，已知二次函數y=ax²﹣8ax+12（a＞0）的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P在拋物線的對稱軸上，且四邊形ABPC為平行四邊形．

（1）求此拋物線的對稱軸，并確定此二次函數的解析式；

（2）點M為x軸下方拋物線上一點，若△OMP的面積為36，求點M的坐標．

Answer 1

【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征；平行四邊形的性質．

【專題】計算題．

【分析】（1）利用二次函數的性質可得對稱軸為直線x=4，則PC=4，再根據平行四邊形的性質得PC=AB=4，然后利用拋物線的對稱性可得A（2，0），B（6，0），然后把把點 A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12求出a=1，所以二次函數解析式為y=x²﹣8x+12；

（2）根據二次函數圖象上點的坐標特征，設M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，作MN⊥y軸于N，如圖2，利用S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM得到（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，化簡得：m²﹣11m+30=0，然后解方程求出m即可得到點M的坐標．

【解答】解：（1）對稱軸為直線x=﹣=4，則PC=4，

∵四邊形ABPC為平行四邊形，

∴PC∥AB，PC=AB，

∴PC=AB=4，

∴A（2，0），B（6，0），

把點 A（2，0）代入得y=ax²﹣8ax+12得4a﹣16a+12=0，解得a=1，

∴二次函數解析式為y=x²﹣8x+12；

（2）設M（m，x²﹣8x+12），其中2＜m＜6，

作MN⊥y軸于N，如圖2，

∵S_梯形CPMN﹣S_△OCP﹣S_△OMN=S_△OPM，

∴（4+m）（12﹣m²+8m﹣12）﹣×4×12﹣m（﹣m²+8m﹣12）=36，

化簡得：m²﹣11m+30=0，解得m₁=5，m₂=6，

∴點M的坐標為（5，﹣3）．

【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數的性質．