Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F使CF=AE．
（1）若把△ADE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度時(shí)，能否與△CDF重合？請(qǐng)說明理由．
（2）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點(diǎn)G．求證：AH⊥ED，并求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知證明△ADE≌△CDF，從而得到結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論及勾股定理可得ED，由直角三角形的面積公式求得AG．
解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AD=DC=2，AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE與△CDF中，
∵，
∴△ADE≌△CDF，
∴把△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)旋轉(zhuǎn)90°時(shí)能與△CDF重合．

（2）由（1）可知∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∵AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED，
∵AE=1，AD=2，
∵ED=，
∴AE•AD=ED•AG，
即×1×2=××AG，
∴AG=．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式和平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經(jīng)過平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．