Question

如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S_△ABC=nS_矩形PQRS，其中n為不小于3的自然數(shù)．求證：

BS

AB

需為無(wú)理數(shù)．

Answer 1

分析：可由△ASR∽△ABC得出對(duì)應(yīng)邊成比例，再由三角形與梯形的面積比建立等式，即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，
設(shè)BC=a，BC邊上的高AD=h，PS=x，RS=y，由△ASR∽△ABC，得

h-x

h

=

y

a

，
∴y=

h-x

h

•a，
∵S_△ABC=nS_梯形PQRS，即

1

2

ah=nxy•

h-x

h

•a，整理得2nx²-2nxh+h²=0，
2n(

x

h

)2-2n•

x

h

+1=0，∴

x

h

=

1

2

±

1

2n

n2-2n

，顯然n²-2n＜（n-1）²又n≥3，
∴n²-2n＞（n-2）²，故n²-2n不是完全平方數(shù)，

n2-2n

為無(wú)理數(shù)，
從而

x

n

為無(wú)理數(shù)，于是

BS

BA

=

x

h

為無(wú)理數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及一元二次方程的求解問(wèn)題，能夠熟練掌握．