Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA=OB=8，OD=1，點C為線段AB的中點

(1)直接寫出點C的坐標 ；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在平面內是否存在點F，使得以A、C、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)點C的坐標為(4，4)；(2)直線CD的解析式是y=；(3)點F的坐標是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．

【解析】

（1）由OA，OB的長度可得出點A，B的坐標，結合點C為線段AB的中點可得出點C的坐標；
（2）由OD的長度可得出點D的坐標，根據(jù)點C，D的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線CD的解析式；
（3）設點F的坐標為（m，n），分AC為對角線、AD為對角線及CD為對角線三種情況，利用平行四邊形的對角線互相平分可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出點F的坐標．

(1)∵OA=OB=8，點A在x軸正半軸，點B在y軸正半軸，

∴點A的坐標為(8，0)，點B的坐標為(0，8)．

又∵點C為線段AB的中點，

∴點C的坐標為(4，4)．

(2)∵OD=1，點D在x軸的正半軸，

∴點D的坐標為(1，0)．

設直線CD的解析式為y=kx+b(k≠0)，

將C(4，4)，D(1，0)代入y=kx+b，

得：，

解得：，

∴直線CD的解析式是y=．

(3)存在點F，使以A、C、D、F為點的四邊形為平行四邊形，設點F的坐標為(m，n)．

分三種情況考慮，如圖所示：

①當AC為對角線時，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點F1的坐標為(11，4)；

②當AD為對角線時，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點F2的坐標為(5，-4)；

③當CD為對角線時，

∵A(8，0)，C(4，4)，D(1，0)，

∴，

解得：，

∴點F3的坐標為(-3，4)．

綜上所述，點F的坐標是(11，4)，(5，-4)或(-3，4)．