Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），過點(diǎn)P做軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段AB運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求為何值時(shí)，以D，M，Q，F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）-1或3或 或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）由題意結(jié)合圖象知△DOB∽△MBQ，△MBQ∽△QPB即△BOD∽△QPB，則有 ，由點(diǎn)的坐標(biāo)可得，解之即可得此時(shí)m值；

（3）先利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，進(jìn)而得到點(diǎn)Q、M的坐標(biāo)，再由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，解之即可.

（1）由拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點(diǎn)C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣；

（2）存在 ，理由為：

∵∠MBQ=90∴∠MBP+∠PBQ=90

∵∠MPB=∠BPQ=90，

∴∠MBQ+∠BMP=90，

∴∠PBQ=∠BMP，

∴△MBQ∽△QPB，

∵△DOB∽△MBQ，

∴△BOD∽△QPB，

∴，即，

解得：m1=3、m2=4，

當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，

∴m=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；

（3）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，﹣2），設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，

將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，

∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），

∴Q（m，）、M（m，m﹣2），

則QM=|﹣（m﹣2）|=|﹣m2+m+4|，

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，

∴當(dāng)|﹣m2+m+4|=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1或m=3或

即m=﹣1或m=3或時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；