Question

【題目】如圖，己知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設(shè)點P，Q運動的時間為t秒．

（1）當t＝2.5時，PQ＝　 　；

（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在．當t＝，t＝，t＝3.4時，△PQC為等腰三角形．

【解析】

（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，求出QE，PE，利用勾股定理即可解決問題．
（2）由三角形的面積公式即可求得；
（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當CQ=CP時，②當PQ=CQ時，③當PQ=PC時，列方程求解即可．

（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝＝10，

∵t＝2.5，

∴AQ＝5，AP＝2.5，

∴QE∥BC，

,

,

∴QE＝3，AE＝4，

∴PE＝4﹣2.5＝1.5，

∴PQ＝，

故答案為：．

（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積＝S△AQP，

當Q在AB邊上時，S＝，（0＜t≤5）

當Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積＝S四邊形ABQP，

∴S四邊形ABQP＝S△ABC﹣S△PQC＝×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）＝﹣t2+16t﹣40，（5＜t≤8）；

∴經(jīng)過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式是：

S＝ ．

（3）存在．

當點Q在AB邊上時，如圖2，連接CQ，PQ，

由（1）知QE＝t，CE＝AC﹣AE＝8﹣t，PQ＝t，

∴CQ＝，

①當CQ＝CP時，

即：，

解得；t＝，

②當PQ＝CQ時，

即：，

解得：t＝或8（不合題意舍去），

③當PQ＝PC時，

即：t＝8﹣t，

解得：t≈3.4；

當點Q在BC邊上時，

∵∠ACB＝90°，

∴△PQC是等腰直角三角形，

∴CQ＝CP，

∴8﹣t＝16﹣2t，

∴t＝8，∴P，Q，C重合，不合題意，

綜上所述：當t＝，t＝，t＝3.4時，△PQC為等腰三角形．