Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,頂點為(4,1)的拋物線交y軸于A點,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側),已知A點坐標為(0,3).

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大?并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積；

（3）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與有怎樣的位置關系，并給出證明.

Answer 1

【答案】（1） （2）P點的坐標為；（3）相交．證明解解析.

【解析】分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；
（2）過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設出P點的坐標，進而可表示出P、Q的縱坐標，也就得出了PQ的長；然后根據三角形面積的計算方法，可得出關于的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出的最大面積及對應的P點坐標．

（3）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸的方程及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；

詳解：（1）設拋物線為

∵拋物線經過點A（0，3），

∴

∴拋物線為

（2）如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；

可求出AC的解析式為

設P點的坐標為

則Q點的坐標為

∴

∵

∴當m=3時，的面積最大為；

此時，P點的坐標為．

（3）相交．證明：連接CE，則，

當時，

A(0,3),B(2,0),C(6,0)，

對稱軸x=4，

∴ ,

∵AB⊥BD，

∴

∴△AOB∽△BEC，

∴

∵

∴拋物線的對稱軸與⊙C相交．