Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，AC=2，過點B作直線m∥AC，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C(點A，B的對應點分別為A'，B′)，射線CA′，CB′分別交直線m于點P，Q．

(1)如圖1，當P與A′重合時，求∠ACA′的度數(shù)；

(2)如圖2，設(shè)A′B′與BC的交點為M，當M為A′B′的中點時，求線段PQ的長；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當點P，Q分別在CA′，CB′的延長線上時，試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形PA′B′Q的最小面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）PQ＝；（3）存在，S四邊形PA'B′Q＝3﹣

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進而得到BC，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根據(jù)M為A'B'的中點，即可得出∠A=∠A'CM，進而得到PBBC，依據(jù)tan∠Q=tan∠A，即可得到BQ=BC2，進而得出PQ=PB+BQ；

（3）依據(jù)S四邊形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，即可得到S四邊形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQPQ×BCPQ，利用幾何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到結(jié)論．

（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2．

∵∠ACB=90°，AB，AC=2，∴BC．

∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A'BC=90°，∴cos∠A'CB，∴∠A'CB=30°，∴∠ACA'=60°；

（2）∵M為A'B'的中點，∴∠A'CM=∠MA'C，由旋轉(zhuǎn)可得：∠MA'C=∠A，∴∠A=∠A'CM，∴tan∠PCB=tan∠A，∴PBBC．

∵∠BQC=∠BCP=∠A，∴tan∠BQC=tan∠A，∴BQ=BC2，∴PQ=PB+BQ；

（3）∵S四邊形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，∴S四邊形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQPQ×BCPQ，

取PQ的中點G．

∵∠PCQ=90°，∴CGPQ，即PQ=2CG，當CG最小時，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時，CG最小，∴CGmin，PQmin=2，∴S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B'Q=3；