Question

已知a，b為正整數(shù)，且a為素?cái)?shù)（也稱為質(zhì)數(shù)），a²+b²是一個(gè)完全平方數(shù)，試用含a的代數(shù)式表示b=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)a²+b²是一個(gè)完全平方數(shù)，令a²+b²=c²，利用平方差公式因式分解，然后分a=2或a為奇質(zhì)數(shù)兩種情況討論求解．

解答：解：∵a²+b²是一個(gè)完全平方數(shù)，
令a²+b²=c²，
得a²=c²-b²=（c-b）（c+b），
因?yàn)閍為質(zhì)數(shù)，a，b為正整數(shù)，所以a=2或a為奇質(zhì)數(shù)，且c+b＞c-b，
若a=2，此時(shí)4=（c-b）（c+b），因b、c為正整數(shù)，c-b＜c+b，
所以，

c-b=1 c+b=4

，從而

b= 3 2 c= 5 2

與b、c為正整數(shù)矛盾，
若a為奇質(zhì)數(shù)，因b、c為正整數(shù)，c-b＜c+b，
所以只有

c+b=a2 c-b=1

從而b=

a2-1

2

．
故答案為：

a2-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方數(shù)和質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義，將原式變形，逐步進(jìn)行邏輯推理，一步步接近問題的核心是解題的關(guān)鍵．