Question

已知x、y為正整數(shù)，且滿足xy-（ x+y ）=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的數(shù)對（x，y ）  （x≥y ）．

Answer 1

分析：此題需分類討論，①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky（k是正整數(shù)）．解方程k（y-2）=3；②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp．解方程abp-1=（a-1）（b-1）即可．

解答：解：①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky（k是正整數(shù)）．
則由原方程，得
ky•y-（ky+y）=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-（k+1）=2+k，
∴k（y-2）=3，
當(dāng)k=1時，x=5，y=5；
當(dāng)k=3時，x=9，y=3；
∴

x=9 y=3

，

x=5 y=5

；

②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp，代入原式
得：abp²-（ap+bp）=2p+abp，即abp-1=（a+1）（b+1）
當(dāng)p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件；
當(dāng)p＞1時，abp≥2ab-1=ab+（ab-1）≥ab＞（a-1）（b-1）
此時，abp-1=（a-1）（b+1）不滿足條件；
綜上所述，滿足條件的數(shù)對有：

x=9 y=3

，

x=5 y=5

．

點(diǎn)評：本題主要考查的是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)．由于兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù)．