Question

（本題滿分12分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交與A（4，0），并且OA＝OC＝4OB，點(diǎn)P為過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)并求此拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）點(diǎn)或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和OA=OC=4OB求出點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）過點(diǎn)C作CP⊥AC，過點(diǎn)P作PM垂直y軸，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)OD⊥AC時(shí)，OD最短，即EF最短.根據(jù)（1）求出AC的長度，根據(jù)中點(diǎn)得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，列出關(guān)于x的方程，求出x的值.

試題解析：（1）∵A（4，0） ∴OA=4 又∵OA=OC=4OB ∴OC=4，OB=1

∴B（-1，0），C（0，4） 設(shè)拋物線的解析式為：

把C（0，4）代入得： ∴ ∴

∴拋物線的解析式為：

（2）存在 過點(diǎn)C作.交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)M.

∵ ∴ 又∵ ∴

∴ ∴

∵在拋物線上. ∴設(shè)

∴

∴ ∴ ∴

∴ ∴

（3）連OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則，據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)時(shí)，OD最短，即EF最短.

由（1）知，在Rt△AOC中， ∴

又∵D為AC的中點(diǎn). ∴DF∥OC ∴ ∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2.

∴ ∴ ∴當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)或

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì).