Question

11、設有m個正n邊形，這m個正n邊形的內(nèi)角總和度數(shù)能夠被8整除，求m+n的最小值．

Answer 1

分析：正三邊形的內(nèi)角和是180，正四邊形是360，正五邊形是540，正n邊形是（n-2）×180（n大于3），m個的總和是m（n-2）×180能給8整除，因為180÷8=45÷2，也就是說找到m（n-2）給2整除的最小m，n就可以了（n≥3），①n=3，m=2，3+2=5；②n=4，m=1，4+1=5，最小值為5．

解答：解：由題意，這m個正n多邊形的內(nèi)角總和度數(shù)為m（n-2）•180=180mn-360m（5分）
因為360m能被8整除，故180mn能被8整除；
而180能被4整除，不能被8整除，則必有mn能被2整除，
故m、n中只至少有一偶數(shù)．（10分）
又m≥1，n≥3，且均為整數(shù)．
要使m+n最小，則
取m=1時，則n=4；（15分）
取m=2時，則n=3；
故m+n的最小值為5．（20分）

點評：本題考查了多邊形內(nèi)角和公式和數(shù)的整除性問題，找到m（n-2）給2整除或180mn被8整除的最小m，n是解題的關(guān)鍵．