Question

15．如圖，已知P為⊙O外一點，連結OP交⊙O于點A，且OA=2AP，求作直線PB，使PB與⊙O相切．以下是甲、乙兩同學的作業(yè)．
甲：作OP的中垂線，交⊙O于點B，則直線PB即為所求．
乙：取OP的中點M，以M為圓心，OM長為半徑畫弧，交⊙O于點B，則直線PB即為所求．
對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 兩人都對
• B． 兩人都不對
• C． 甲對，乙不對
• D． 甲不對，乙對

Answer 1

分析 如圖1，OP的垂直平分線交OP于H，連結OB，設AP=x，則OA=2x，OB=2x，由于BH垂直平分OP，則BO=BP=2x，然后利用勾股定理的逆定理可判斷△OBP不是直角三角形，則PB不是⊙O的切線，則可判斷甲的說法錯誤；如圖2，連結OB，利用圓周角定理得到∠OBP=90°，則OB⊥PB，于是根據(jù)切線的判定定理可判斷PB與⊙O相切，所以乙的說法正確．

解答 解：如圖1，OP的垂直平分線交OP于H，連結OB，設AP=x，則OA=2x，OB=2x，
∵BH垂直平分OP，
∴BO=BP=2x，
∵OB²+BP²=（2x）²+（2x）²=4x²，
OP²=（3x）²=9x²，
∴△OBP不是直角三角形，
∴PB不是⊙O的切線；所以甲的說法錯誤；
如圖2，連結OB，
∵M點為OP的中點，
∴OP為⊙M的直徑，
∴∠OBP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB與⊙O相切；所以乙的說法正確．
故選D．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．