Question

【題目】在正方形ABCD中，有一直徑為CD的半圓，圓心為點(diǎn)O，CD＝2，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)A、點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿線段CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A的時(shí)間為t(s)，回答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，根據(jù)下列條件，分別求出t的值．

①EF與半圓相切；

②△EOF是等腰三角形．

（2）如圖②，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，Q是半圓上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出PQ＋OQ的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)EF與半圓相切時(shí)，t的值為1－；②當(dāng)△EOF是等腰三角形時(shí)，t的值為或1；（2）1、1+．

【解析】

（1）①如圖，設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G，由切線長(zhǎng)定理可知ED=EG，F(xiàn)C=FG，在Rt△EHF中，利用勾股定理列出方程即可解決問(wèn)題；
②分三種情形討論，分別列出方程求解即可；
（2）①當(dāng)點(diǎn)P在半圓上時(shí)，PQ的最小值為0，此時(shí)PQ+OQ的最小值為1．②當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大，當(dāng)Q與D重合時(shí)，PQ+OQ的值最大；

（1）①設(shè)EF與半圓相切于點(diǎn)G，

過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴OD⊥AD，且AD經(jīng)過(guò)半徑OD的外端點(diǎn)D，

∴AD與半圓相切于點(diǎn)D，

同理可證：BC與半圓相切于點(diǎn)C，

∴ED＝EG＝2－t，CF＝FG＝2t，

∴EF＝2＋t，

∵EH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，∴∠BHE＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABHE是矩形，

∴EH＝AB＝2，BH＝AE＝t，

∴HF＝2－3t，

在△EHF中，∠EHF＝90°，

∴EH2＋HF2＝EF2，

∴22＋(2－3t)2＝(2＋t)2，

解這個(gè)方程，得t1＝1－＜1，t2＝1＋＞1（不合題意，舍去），

∴當(dāng)EF與半圓相切時(shí)，t的值為1－．

②解：在△EDO中，∵∠EDO＝90°，∴OE2＝t2－4t＋5，

同理可證：OF2＝1＋4t2， EF2＝9t2－12t＋8，

第一種情況：當(dāng)OE＝OF時(shí)，則OE2＝OF2，

∴t2－4t＋5＝1＋4t2，

解這個(gè)方程，得t1＝＜1，t2＝－2＜0（不合題意，舍去），

第二種情況：當(dāng)OE＝EF時(shí)，則OE2＝EF2，

∴t2－4t＋5＝9t2－12t＋8，此方程無(wú)解，

第三種情況：當(dāng)OF＝EF時(shí)，則OF2＝EF2，

∴1＋4t2＝9t2－12t＋8，

解這個(gè)方程，得t1＝1，t2＝1.4＞1（不合題意，舍去），

綜上所述：當(dāng)△EOF是等腰三角形時(shí)，t的值為或1．

（3）

由題意可知，點(diǎn)P在邊CD的垂直平分線上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始的時(shí)候點(diǎn)P在圓周上，隨著運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P向做運(yùn)動(dòng)直到停止

當(dāng)P在圓上時(shí)，取P、Q為同一點(diǎn)，PQ+OQ最小為1，

當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的結(jié)論最大，當(dāng)Q與D重合時(shí)，PQ+OQ的值最大

=+1=1+