Question

【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．
（1）若⊙O的半徑為8，求CD的長(zhǎng)；
（2）證明：PE=PF；
（3）若PF=13，sinA= ，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，

∴OB= OA=4，BC=BD= CD，

∴在Rt△OBD中，BD= =4 ，

∴CD=2BD=8

（2）解：∵PE是⊙O的切線，

∴∠PEO=90°，

∴∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，

∵OE=OA，

∴∠A=∠AEO，

∴∠PEF=∠PFE，

∴PE=PF

（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，

∴∠PGF=∠ABF=90°，

∵∠PFG=∠AFB，

∴∠FPG=∠A，

∴FG=PFsinA=13× =5，

∵PE=PF，

∴EF=2FG=10

【解析】（1）首先連接OD，由直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，⊙O的半徑為8，可求得OB的長(zhǎng)，又由勾股定理，可求得BD的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得CD的長(zhǎng)；（2）由PE是⊙O的切線，易證得∠PEF=90°﹣∠AEO，∠PFE=∠AFB=90°﹣∠A，繼而可證得∠PEF=∠PFE，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可得PE=PF；（3）首先過(guò)點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，易得∠FPG=∠A，即可得FG=PFsinA=13× =5，又由等腰三角形的性質(zhì)，求得答案．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的概念，需要了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．