Question

【題目】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(-5，8)，B(3，0).

（1）如圖1，求∠ABO的度數(shù)；

（2）如圖2，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，△BOC的面積為，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線(xiàn)CD上一點(diǎn)，求△PAB的面積；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)P在第二象限時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)F為x軸上一點(diǎn)，連接PF，點(diǎn)G為EP延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接OG，若OG=FP，∠EFP+∠PGO=45°，EF=11，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）24；（3）P（-5，2）或（-7，4）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸交于點(diǎn)D，求出AD、BD的長(zhǎng)度即能得到答案；

（2）根據(jù)平行線(xiàn)間的距離處處相等，即能知道△PAB以AB為底時(shí)，高就是BC的長(zhǎng)度，求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，代入面積公式就能求出；

（3）分為點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行討論，根據(jù)題（2）求出PC的解析式，以及由∠EFP+∠PGO=45°推出△PFE≌△GOH，就能知道EF、OH與EO之間的關(guān)系，由EF=11，求出ED的長(zhǎng)度后就能求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，代入PC的解析式，就能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸交于點(diǎn)D，

∵A(-5，8)，B(3，0)，

∴AD=8，BD=8，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABO=45°．

（2）由（1）可知，根據(jù)勾股定理可得：AB=，

∵△BOC的面積為，OB=3，

∴ ，

，

∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，BC=，

∴∠ABC=∠OBC+∠ABO= 90°，

∴BC⊥AB．

∵CD∥AB，

∴點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離就是BC的長(zhǎng)度，

∴

∴△PAB的面積為24．

（3）∵點(diǎn)G為EP延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠EFP+∠PGO=45°，當(dāng)點(diǎn)G在第二象限時(shí)，∠PGO＞45°，∴點(diǎn)G在第一象限．

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左邊時(shí)，如圖3—1所示：

由（2）可知直線(xiàn)PC的解析式為y=﹣x﹣3，且∠PDE= 45°，OD=3，

∵PE⊥PC，

∴∠PED= 45°，∠EHO= 45°，

∴ PE=PD，∠PEF= 135°，∠GHO= 135°．

∵∠EFP+∠PGO=45°，∠GOH+∠PGO=45°，

∴∠EFP=∠GOH．

在△PFE和△GOH中，

，

∴△PFE≌△GOH（AAS），

∴EF=HO=11．

∴EO=HO=11，

∴DE=8，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)距離原點(diǎn)的距離為7，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣7，

將﹣7代入直線(xiàn)PC的解析式為y=﹣x﹣3，

則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-7，4）．

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E的左邊時(shí)，如圖3-2所示：

同理可證得FD=HO=EO，

∵ EF=11，

∴ EO+OF=11，

∴ EO+FD－OD=11，

∴ 2ED=11+3，

∴ ED=7，

即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣5，

將﹣5代入直線(xiàn)PC的解析式為y=﹣x﹣3，

則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，2）．

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（-5，2）或（-7，4）．