Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的 O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E.
（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
（2）判斷DE與 O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若 O的直徑為3，cosB= ，求DE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連結(jié)CD，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；

（2）解：DE與⊙O相切．理由如下：

連結(jié)OD，

∵AD=BD，OC=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE為⊙O的切線．

（3）解：連結(jié)CD，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，∵cosB= ，

∴BD= BC= ×3=1，

∴AD=BD=1，

在Rt△ADE中，∵cosA=cosB= =

∴AE= AD= ，

∴DE= = = .

【解析】（1）連結(jié)OD，如圖，由OD=OB得到∠ODB=∠B，由CA=CB得到∠A=∠B，則∠ODB=∠A，則可判斷OD∥AC，易得BD=AD，即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；（2）由于OD∥AC，DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根據(jù)切線的判定定理可得DE為⊙O的切線；（3）連結(jié)CD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，則在Rt△BDC中，利用余弦定義可計(jì)算出BD= BC=1，所以AD=BD=1，接著在Rt△ADE中，利用余弦定義可計(jì)算出AE= AD= ，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DE的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用切線的判定定理，掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．