Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，點，過點作軸，垂足為點，過點作軸，垂足為點，兩條垂線相交于點．

（1）線段，，的長分別為_______，_________，_________；

（2）折疊圖1中的，使點與點重合，再將折疊后的圖形展開，折痕交于點，交于點，連接，如圖2．

①求線段的長；

②在軸上，是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；4；；（2）①線段AD的長為5；②點P的坐標為（0，3）或（0，-3）或（0，2）或（0，8）或（0，）．

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點A，C的坐標，利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，可得出AB，BC，AC的長；
（2）①設(shè)AD=a，則CD=a，BD=8-a，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出a的值，進而可得出線段AD的長；
②設(shè)點P的坐標為（0，t），利用兩點間的距離公式可求出AD2，AP2，DP2的值，分AP=AD，AD=DP及AP=DP三種情況，可得出關(guān)于t的一元二次方程（或一元一次方程），解之即可得出t的值，進而可得出點P的坐標．

解：（1）如圖：

當(dāng)x=0時，y=-2x+8=8，
∴點C的坐標為（0，8）；
當(dāng)y=0時，-2x+8=0，解得：x=4，
∴點A的坐標為（4，0）．
由已知可得：四邊形OABC為矩形，
∴AB=OC=8，BC=OA=4，AC=．
故答案為：8；4；．
（2）①設(shè)AD=a，則CD=a，BD=8-a．
在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即a2=42+（8-a）2，
解得：a=5，
∴線段AD的長為5．

②存在，如圖：

設(shè)點P的坐標為（0，t）．
∵點A的坐標為（4，0），點D的坐標為（4，5），
∴AD2=25，AP2=（0-4）2+（t-0）2=t2+16，DP2=（0-4）2+（t-5）2=t2-10t+41．
當(dāng)AP=AD時，t2+16=25，
解得：t=±3，
∴點P的坐標為（0，3）或（0，-3）；
當(dāng)AD=DP時，25=t2-10t+41，
解得：t1=2，t2=8，
∴點P的坐標為（0，2）或（0，8）；
當(dāng)AP=DP時，t2+16=t2-10t+41，
解得：t=，
∴點P的坐標為（0，）．
綜上所述：在y軸上存在點P，使得△APD為等腰三角形，點P的坐標為（0，3）或（0，-3）或（0，2）或（0，8）或（0，）．