Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y1＝x2﹣4x+4的頂點為A，直線y2＝kx﹣2k（k≠0），

（1）試說明直線是否經(jīng)過拋物線頂點A；

（2）若直線y2交拋物線于點B，且△OAB面積為1時，求B點坐標；

（3）過x軸上的一點M（t，0）（0≤t≤2），作x軸的垂線，分別交y1，y2的圖象于點P，Q，判斷下列說法是否正確，并說明理由：

①當k＞0時，存在實數(shù)t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

②當﹣2＜k＜﹣0.5時，不存在滿足條件的t（0≤t≤2）使得PQ＝3．

Answer 1

【答案】（1）直線經(jīng)過A點；（2）B（1,1）或B（3,1）；（3）①正確，②正確.

【解析】

（1）將拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點A的坐標, 將點A的坐標代入直線的解析式判斷即可；

（2） △OAB面積為1時，根據(jù)三角形的面積公式，求出點B的縱坐標，代入拋物線的解析式即可求出點B的橫坐標，即可求解.
（3）①點M（t，0），則點P（t，t2﹣4t+4），點Q（t，kt﹣2k），若k＞0：當0≤t≤2時，P在Q點上方時，整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0，求出△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解，則存在實數(shù)t（0≤t≤2）使得PQ=3.

②分當 P在Q點下方，當P在Q點上方時，兩種情況進行分類討論.

（1）

頂點A（2,0）

當x=2時，由2k-2k=0，

∴直線經(jīng)過A點.

（2）

△OAB面積為1時，

令

解得：

即點B的坐標為：B（1,1）或B（3,1）,

（3）∵點M（t，0），

∴點P（t，t2﹣4t+4），點Q（t，kt﹣2k），

①若k＞0：當0≤t≤2時，P在Q點上方時，∵PQ=3

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（1+2k）=k2+12＞0,此方程有解

∴①正確．

②若k＜0:

1）當 P在Q點下方，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=﹣3

∴t2﹣（4+k）t+7+2k=0

∵△=b2﹣4ac=（4+k）2﹣4（7+2k）=k2﹣12

∴當存在PQ=3時，k2﹣12≥0

∴k≤或k≥（舍去）

∴當﹣2＜k＜﹣0.5時，不存在滿足條件的t，

2)當P在Q點上方時，

∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）=3

∵△=k2+12＞0,此方程有解

又∵ ∴有一正一負兩根

∴正根>2

∴在[0,2]上不存在滿足條件的t，

∴②正確-