Question

【題目】如圖，拋物線與軸交、兩點（點在點左側），直線與拋物線交于、兩點，其中點的橫坐標為2.

（1）求、兩點的坐標及直線的函數(shù)表達式；

（2）是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值；

（3）點是拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使、、、四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，寫出所有滿足條件的點坐標（請直接寫出點的坐標，不要求寫過程）；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，。（2）。（3），，，.

【解析】

（1）因為拋物線與x軸相交，所以可令y=0，解出A、B的坐標．再根據C點在拋物線上，C點的橫坐標為2，代入拋物線中即可得出C點的坐標．再根據兩點式方程即可解出AC的函數(shù)表達式；

（2）根據P點在AC上可設出P點的坐標．E點坐標可根據已知的拋物線求得．因為PE都在垂直于x軸的直線上，所以兩點之間的距離為yp-yE，列出方程后結合二次函數(shù)的性質即可得出答案；

（3）此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出F點的坐標．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，

∴A（-1，0）B（3，0），

將C點的橫坐標x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3），

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1；

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2），

則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），

E（x，x2-2x-3），

∵P點在E點的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴當x=時，PE的最大值=；

（3）存在4個這樣的點，分別是，，，.

①如圖1，

連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（-3，0）；

②如圖2，

AF=CG=2，A點的坐標為（-1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖3，

此時C，G兩點的縱坐標互為相反數(shù)，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+，3），

設直線GF的解析式為y=-x+h，

將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+，

因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+，0）；

④如圖4，

同③可求出F的坐標為（4-，0）．

總之，符合條件的F點共有4個．