Question

【題目】⊙O直徑AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切線，DC切⊙O于點(diǎn)E且交AM于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，設(shè)AD＝x，BC＝y．

（1）求y與x之間的關(guān)系式；

（2）x，y是關(guān)于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的兩個(gè)根，求x，y的值；

（3）在（2）的條件下，求△COD的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）或；（3）45．

【解析】

（1）如圖，作DF⊥BN交BC于F，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，則DC＝DE+CE＝x+y，在中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x之間的關(guān)系式．

（2）由（1）求得，由根與系數(shù)的關(guān)系求得的值，通過(guò)解一元二次方程即可求得x，y的值．

（3）如圖，連接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切線，DC切⊙O于點(diǎn)E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．

（1）如圖，作DF⊥BN交BC于F；

∵AM、BN與⊙O切于點(diǎn)定A、B，

∴AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，

∴四邊形ABFD是矩形，

∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，

∵BC＝y，

∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；

∵DE切⊙O于E，

∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，

則DC＝DE+CE＝x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，

整理為：y＝，

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝．

（2）由（1）知xy＝36，

x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的兩個(gè)根，

∴根據(jù)韋達(dá)定理知，xy＝，即a＝72；

∴原方程為x2﹣15x+36＝0，

解得或．

（3）如圖，連接OD，OE，OC，

∵AD，BC，CD是⊙O的切線，

∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，

∴S△AOD＝S△ODE，

S△OBC＝S△COE，

∴S△COD＝××（3+12）×12＝45．