Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AB：y= x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．直線CD：y=﹣ x﹣1與直線AB相交于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．

（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是射線MD上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PBM的面積是S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)S=20時，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B、E、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)B是直線AB：y= x+4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，

∴B（0，4），

∵點(diǎn)D是直線CD：y=﹣ x﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，

∴D（0，﹣1）；

（2）解：如圖1，∵直線AB與CD相交于M，

∴M（﹣5， ），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

∴點(diǎn)P（x，﹣ x﹣1），

∵B（0，4），D（0，﹣1），

∴BD=5，

∵點(diǎn)P在射線MD上，即：x≥0時，

S=S△BDM+S△BDP= ×5（5+x）= x+ ，

（3）解：如圖，由（1）知，S= x+ ，

當(dāng)S=20時， x+ =20，

∴x=3，

∴P（3，﹣2），

①當(dāng)BP是對角線時，取BP的中點(diǎn)G，連接MG并延長取一點(diǎn)E'使GE'=GE，

設(shè)E'（m，n），

∵B（0，4），P（3，﹣2），

∴BP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，1），

∵M(jìn)（﹣5， ），

∴ = ， =1，

∴m=8，n= ，

∴E'（8， ），

②當(dāng)AB為對角線時，同①的方法得，E（﹣9，6），

③當(dāng)MP為對角線時，同①的方法得，E'（﹣2，﹣ ），

即：滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8， ）、（﹣9，6）、（﹣2，﹣ ）．

【解析】（1）將x=0代入函數(shù)解析式得到對應(yīng)的y值，從而可得到點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將所求三角形的面積轉(zhuǎn)為△BDM和△BDP的面積之和，然后依據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）分三種情況利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形和線段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法即可得出結(jié)論.