Question

為迎接第四屆世界太陽(yáng)城大會(huì)，德州市把主要路段路燈更換為太陽(yáng)能路燈．已知太陽(yáng)能路燈售價(jià)為5000元/個(gè)，目前兩個(gè)商家有此產(chǎn)品．甲商家用如下方法促銷(xiāo)：若購(gòu)買(mǎi)路燈不超過(guò)100個(gè)，按原價(jià)付款；若一次購(gòu)買(mǎi)100個(gè)以上，且購(gòu)買(mǎi)的個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但太陽(yáng)能路燈的售價(jià)不得低于3500元/個(gè)．乙店一律按原價(jià)的80%銷(xiāo)售．現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)太陽(yáng)能路燈x個(gè)，如果全部在甲商家購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為y₁元；如果全部在乙商家購(gòu)買(mǎi)，則所需金額為y₂元．
（1）分別求出y₁、y₂與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若市政府投資140萬(wàn)元，最多能購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)太陽(yáng)能路燈？

Answer 1

分析：（1）對(duì)甲，由于購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)不同，售價(jià)也不同，因此需按購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)分成三段由等量關(guān)系“所需金額=售價(jià)×購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式；
對(duì)乙，按等量關(guān)系“所需金額=售價(jià)×購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)”列出函數(shù)關(guān)系式．
（2）分別計(jì)算投資額在甲乙商家各能購(gòu)買(mǎi)的太陽(yáng)能路燈的數(shù)量，比較得出最大值．

解答：解：（1）由題意可知，
當(dāng)0＜x≤100時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需5000元，故y₁=5000x；
當(dāng)x＞100時(shí)，
∵購(gòu)買(mǎi)個(gè)數(shù)每增加一個(gè)，其價(jià)格減少10元，但售價(jià)不得低于3500元/個(gè)，
∴x≤

5000-3500

10

+100=250個(gè)．
即100＜x≤250時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需5000-10（x-100）元，
故y₁=6000x-10x²；
當(dāng)x＞250時(shí)，購(gòu)買(mǎi)一個(gè)需3500元，
故y₁=3500x；
∴y₁=

5000x(0＜x≤100) 6000x-10x2(100＜x≤250) 3500x(x＞250)

，
y₂=5000×80%x=4000x．

（2）在甲商家，當(dāng)0＜x≤100時(shí)，y₁=5000x≤500000＜1400000；
當(dāng)100＜x≤250時(shí)，y₁=6000x-10x²=-10（x-300）²+900000＜1400000；
∴由3500x=1400000，得x=400；
在乙商家，由4000x=1400000，
得x=350個(gè)．
故選擇甲商家，最多能購(gòu)買(mǎi)400個(gè)路燈．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)關(guān)系式的列法，應(yīng)從自變量的變化范圍入手，同時(shí)考查了最值的求法．