某同學(xué)用兩個(gè)完全相同的直角三角尺重疊在一起(如圖①)固定△ABC不動(dòng),將△DEF沿線段AB向右平移.
(1)若∠A=60°,斜邊AB=4,設(shè)AD=x,兩個(gè)直角三角尺重疊部分的面積為y,試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)D移至到什么位置時(shí).四邊形CDBF是菱形,并加以證明;
(3)當(dāng)D移至AB中點(diǎn)時(shí)(如圖②),四邊形CDBF能否為正方形?若能,請(qǐng)你說明理由;若不能,請(qǐng)你添加一個(gè)條件說明四邊形CDBF為正方形?
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分析:(1)根據(jù)平移的性質(zhì)得到DF∥AC,所以由平行線的性質(zhì)、勾股定理求得GD=
4-x
2
,BG=
BD2-DG2
=
3
(4-x)
2
,所以由三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)D移至AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形CDBF是菱形.根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知
CD=
1
2
AB,BF=
1
2
DE.所以AD=CD=BD=CF,又由BE=AD,則CD=BD=BF=CF,故四邊形CDBF是菱形;
(3)不能為正方形,添加條件:AC=BC時(shí),四邊形CDBF為正方形.根據(jù)有一內(nèi)角為直角的菱形是正方形來添加條件.
解答:精英家教網(wǎng)解(1)如圖①∵DF∥AC,
∴∠DGB=∠C=90°,∠GDB=∠A=60°,∠GBD=30°
∵BC=4-x,
∴GD=
4-x
2
,BG=
BD2-DG2
=
3
(4-x)
2

y=S△BDG=
1
2
×
4-x
2
×
3
(4-x)
2
=
3
(4-x)2
8
(O≤x≤4);

(2)當(dāng)D移至AB的中點(diǎn)時(shí),四邊形CDBF是菱形.
證明:∵∠ACB=∠DFE=90°,D是AB的中點(diǎn)
∴CD=
1
2
AB,EF=
1
2
DE
∴CD=BD=BF=BE
∵CF=BD
∴CD=BD=BF=CF
∴四邊形CDBF是菱形;

(3)不能為正方形,添加條件:AC=BC時(shí),四邊形CDBF為正方形.
證明:∵AC=BC,D是AB的中點(diǎn).
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四邊形CDBF為菱形,
∴四邊形CDBF是正方形.
點(diǎn)評(píng):本題是幾何變換綜合題型,主要考查了平移變換的性質(zhì),勾股定理,正方形的判定,菱形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線.(2)難度稍大,根據(jù)三角形斜邊上的中線推知CD=BD=BF=BE是解題的關(guān)鍵.
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精英家教網(wǎng)某同學(xué)用兩個(gè)完全相同有一個(gè)角為60°的直角三角尺重疊在一起(如圖)固定△ABC不動(dòng),將△DEF沿線段AB向右平移,當(dāng)D移至AB中點(diǎn)時(shí)(如圖②).
(1)求證:△ACD≌△DFB;
(2)猜想四邊形CDBF的形狀,并說明理由.

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