解:(1)在Rt△ABC中,OB=1,OA=3,且CO⊥AB;
∴OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378659.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,則 C(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
);
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x-3),代入點(diǎn)C的坐標(biāo)后,得:
a(0+1)(0-3)=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
∴拋物線的解析式:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
(x+1)(x-3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
x
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201310/5285a78dc7605.png)
(2)易知OA=3、OB=1、OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,則:S
△ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AB•OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×4×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
.
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),由題意知:S
△ABP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△ABC,則:
點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)C到x軸距離的一半,即 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
;
令y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
x
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
,化簡(jiǎn)得:2x
2-4x-9=0
解得 x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378660.png)
;
∴P
1(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378661.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
)、P
2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/319418.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
);
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的B、C段時(shí),顯然△BCP的面積要小于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△ABC,此種情況不合題意;
③當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的A、C段時(shí),S
△ACP=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AC•h=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
S
△ABC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,則h=1;
在射線CK上取點(diǎn)D,使得CD=h=1,過點(diǎn)D作直線DE∥l
1,交y軸于點(diǎn)E,如右圖;
在Rt△CDE中,∠ECD=∠BCO=30°,CD=1,則CE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
、OE=OC+CE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63299.png)
,點(diǎn)E(0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63299.png)
)
∴直線DE:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
x--
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/63299.png)
,聯(lián)立拋物線的解析式,有:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378662.png)
,解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378663.png)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378664.png)
∴P
3(1,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
)、P
4(2,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
);
綜上,存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)為(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378661.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
)、(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/319418.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
)、(1,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
)、(2,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
).
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201310/5285a78de4424.png)
(3)由(1)知:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
x
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/518.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
(x-1)
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1165.png)
,
∴拋物線的對(duì)稱軸 x=1;
在Rt△OBC中,OB=1,OC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,則∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2;
過點(diǎn)C作直線CN∥x軸,交拋物線于點(diǎn)N,如右圖;
由拋物線的對(duì)稱性可得:N(2,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),所以 CN=2;
易知直線BC:y=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,則 K(1,-2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
),CK=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/378665.png)
=2;
在△CKN中,∠2=60°,CN=CK=2,那么△CKN是等邊三角形----①.
Ⅰ、KC=KM時(shí),點(diǎn)C、M關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,符合①的情況,即點(diǎn)M、N重合;
Ⅱ、KC=CN時(shí),由于KC=BC,所以此時(shí)點(diǎn)M與B、N重合;
Ⅲ、MK=MC時(shí),點(diǎn)M在線段CK的中垂線上,此時(shí)M、N重合;
綜上,只有一個(gè)符合條件的點(diǎn)M(即點(diǎn)N),此時(shí)直線l
1的旋轉(zhuǎn)角度α=∠ACN=90°-∠2=30°.
分析:(1)在Rt△ABC中,由射影定理可求出OC的長(zhǎng),由此確定點(diǎn)C的坐標(biāo);知道A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)后,利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式.
(2)此題中,以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形可分作兩部分,若該四邊形的面積是△ABC面積的1.5倍,那么四邊形中除△ABC以外部分的面積應(yīng)是△ABC面積的一半,分三種情況:
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí),△ABP的面積應(yīng)該是△ABC面積的一半,因此點(diǎn)P的縱坐標(biāo)應(yīng)該是點(diǎn)C縱坐標(biāo)絕對(duì)值的一半,代入拋物線解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo);
②當(dāng)點(diǎn)P在B、C段時(shí),顯然△BPC的面積要遠(yuǎn)小于△ABC面積的一半,此種情況不予考慮;
③當(dāng)點(diǎn)P在A、C段時(shí),由A、C的長(zhǎng)以及△ACP的面積可求出點(diǎn)P到直線AC的距離,首先在射線CK上取線段CD,使得CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到直線AC的距離,先求出過點(diǎn)D且平行于l
1的直線解析式,這條直線與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P.
(3)從題干的旋轉(zhuǎn)條件來看,直線l
1旋轉(zhuǎn)的范圍應(yīng)該是l
1、l
2中間的部分,而△MCK的腰和底并不明確,所以分情況討論:①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK;
求出點(diǎn)K的坐標(biāo)、∠BCO的度數(shù)結(jié)合上述三種情況求解.
點(diǎn)評(píng):該題考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,圖形面積的解法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí);后兩題涉及的情況較多,應(yīng)分類進(jìn)行討論,容易漏解.