Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=12．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、D同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．其中點(diǎn)M沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，連接MP．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=6時(shí)，PM=______；
（2）t為何值時(shí)，△PMC的面積等于矩形ABCD面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C，所以△CQP∽△CBA，即：=，當(dāng)t=6時(shí)，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6，點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合，可得出：PM=×AB，分別代入AB、BC、CQ的值求出PM即可；
（2）由（1）可得出=，當(dāng)t秒后，CQ=t，所以PQ=t，CM=CB=BM=12-t，S_△PMC=×PQ×CM=×t×（12-t）=×6×12，解該方程求出t的值，并判斷t的值是否符合題意，若符合則說明是要求的t的值．
解答：解：（1）由題意得：
當(dāng)t=6時(shí)，DN=6，BM=6，BC=12，即：CM=6
又∵NP⊥BC于點(diǎn)Q
∴CQ=DN=6
∴當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合
又∵∠NQC=∠B=90°，∠C=∠C
∴△CQP∽△CBA
∴=
即：==
∴PM=×AB=×6=3cm．

（2）當(dāng)經(jīng)過t秒后，CQ=ND=t，BM=t，MC=BC-BM=12-t，
S_△PMC=×CM×PQ=（12-t）×PQ，
由（1）可知：=
即：PQ=×AB=×CQ=t，
又∵△PMC的面積等于矩形ABCD面積的，
即：S_△PMC=（12-t）×t=×6×12
t²-12t+32=0，
∴t₁=4，t₂=8．
所以，當(dāng)t為4秒或者8秒時(shí)，△PMC的面積等于矩形ABCD面積的．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于理解清楚題意，列出關(guān)系式求解即可．