Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=9O°，E、F是BC上兩點，若AD=ED，∠ADE=30°，∠FDC=15°，則下列結(jié)論：①∠AED=∠DFC；②BE=2CF；③AB-CF=EF；④S_△DAF：S_△DEF=AF：EF．其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①③
B．②④
C．①③④
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：①由AD=DE，∠ADE=30°，可求∠AED的度數(shù)，已知∠FDC=15°，利用互余關(guān)系可求∠DFC的度數(shù)，證明結(jié)論；
②其中用到了AF=2AB，即角AFB=30度，這個條件由四點共圓之后的角AFB=角ADE=30度得到
結(jié)論②是錯誤的，因為AF＞BF，即2AB＞BE+EF，把結(jié)論③中EF=2AB-2CF代入得到2CF＞BE，
③作E、F關(guān)于直線CD的對稱點E'，F(xiàn)'，則可以證明三角形DAF全等于三角形DE'F，所以E'F=2CF+EF=AF=2AB，所以AB-CF=1/2EF．結(jié)論④是正確的，根據(jù)三角形DAF全等于三角形DE'F，則可得：S_△DAF：S_△DEF=AF：EF．
解答：解：
①∵∠DFC=∠DAE=75°，
∴AEFD四點共圓，
則所以∠AFB=∠ADE=30°，
所以證明∠AED=∠DFC
故①正確；
②其中用到了AF=2AB，即角AFB=30度，這個條件由四點共圓之后的角AFB=角ADE=30度得到
結(jié)論②是錯誤的，因為AF＞BF，即2AB＞BE+EF，把結(jié)論③中EF=2AB-2CF代入得到2CF＞BE，
故②錯誤；
③作E、F關(guān)于直線CD的對稱點E'，F(xiàn)'，則可以證明三角形DAF全等于三角形DE'F，所以E'F=2CF+EF=AF=2AB，所以AB-CF=EF，結(jié)論③正確
結(jié)論④是正確的，根據(jù)三角形DAF全等于三角形DE'F，則可得：S_△DAF：S_△DEF=AF：EF
故④正確．
點評：本題考查了直角梯形，題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，核心是三角形DAF全等于三角形DE'F，一個很重的環(huán)節(jié)，認真思考解決它就迎刃而解．