計算：
1
1×2010
+
1
2×2009
+…+
1
2010×1
-
2010
2011
(
1
1×2009
+
1
2×2008
+…+
1
2009×1
)
=
 
．
分析：把前面2010個分數(shù)的和看作被減數(shù)，后面2009個分數(shù)的和的
2010
2011
看作減數(shù)，本題就是求它們的差．由于被減數(shù)中每一個分數(shù)的分子都是1，分母都是2個數(shù)的乘積，且這兩個數(shù)的和為1+2010=2+2009=…=2010+1=2011，所以將每一個分數(shù)改寫成兩個分數(shù)的和，
1
1×2010
=
2011
2011×1×2010
=
1
2011
（
1
1
+
1
2010
），
1
2×2009
=
2011
2011×2×2009
=
1
2011
（
1
2
+
1
2009
），依此類推，
1
2010×1
=
1
2011
（
1
2010
+
1
1
）；同理，減數(shù)中每一個分數(shù)也可以改寫成兩個分數(shù)的和，
1
1×2009
=
1
2010
（
1
1
+
1
2009
），
1
2×2008
=
1
2010
（
1
2
+
1
2008
），…，
1
2009×1
=
1
2010
（
1
2009
+
1
1
），然后根據(jù)運算法則及乘法的分配律計算即可．
解答：解：
1
1×2010
+
1
2×2009
+…+
1
2010×1
-
2010
2011
(
1
1×2009
+
1
2×2008
+…+
1
2009×1
)
=
1
2011
（
1
1
+
1
2010
+
1
2
+
1
2009
+…+
1
2010
+
1
1
）-
2010
2011
×
1
2010
（
1
1
+
1
2009
+
1
2
+
1
2008
+…+
1
2009
+
1
1
）
=
1
2011
（
1
1
+
1
2010
+
1
2
+
1
2009
+…+
1
2010
+
1
1
-
1
1
-
1
2009
-
1
2
-
1
2008
-…-
1
2009
-
1
1
）
=
1
2011
（
1
2010
+
1
2010
）
=
1
2011
×
1
1005

=
1
2021055
．
故答案為：
1
2021055
．
點評：本題考查了有理數(shù)的混合運算，屬于競賽題型，難度較大．關(guān)鍵是通過觀察，發(fā)現(xiàn)分數(shù)之間的特點，從而將每一個分數(shù)改寫成兩個分數(shù)的和．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

由
1
1×2
=
1
1
-
1
2
=
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
=
1
6
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
=
1
12
；…請你利用這一規(guī)律，計算：
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
2009×2010
=
 
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

觀察下列各等式，并回答問題：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；
1
4×5
=
1
4
-
1
5
；…
（1）填空：
1
n(n+1)
=
 
（n是整數(shù)）；
（2）計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
8×9
.
解：原式=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
8
-
1
9
)=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
8
-
1
9
=1-
1
9
=
8
9

請同學們觀察上面解題過程后計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+…+
1
2009×2010
.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

先觀察變形規(guī)律，再解答提出的問題：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，…
（1）若n為正整數(shù)，請你猜想
1
n(n+1)
=
 
；
（2）計算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2009×2010
．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

計算：
1
1×2010
+
1
2×2009
+…+
1
2010×1
-
2010
2011
(
1
1×2009
+
1
2×2008
+…+
1
2009×1
)
=______．

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